Неравенства с параметром как основа для организации повторения свойств квадратичной функции и приемов решения иррациональных неравенств

  • Жаворонкова Татьяна Викторовна, заместитель директора, учитель математики и физики

Материал данной статьи может использоваться
при организации факультативных занятий или
элективного курса для учащихся девятых классов.
Целью такого занятия является обобщение
известных им свойств модуля квадратичной
функции и её графика, а также равносильных
переходов при решении иррациональных
неравенств.

Включение параметра в условие задачи ставит
учащихся перед необходимостью проводить
сравнительный анализ поведения функций в
зависимости от возможных значений параметра,
составлять системы необходимых и достаточных
условий для выполнения требований предложенного
задания. Кроме того, умение находить и применять
различные способы решения достаточно простой
задачи, переформулировать условие задачи в иных
терминах развивает навыки творческой работы при
столкновении учеников с нестандартными
заданиями.

Исходная задача. Найдите все значения
параметра а, при которых неравенство

3- | х-а| >х2 имеет хотя бы одно
отрицательное решение.


1 способ. Раскрытие модуля по его
определению и использование свойств графика
квадратичной функции.

Данное неравенство будет иметь хотя бы одно
отрицательное решение, если хотя бы одно решение
имеет любая из систем неравенств I или II.

I: II:

Пусть f(x,a)=x2 + x – a – 3 = (x+0.5)2 -a-3.25,

g(x,a) = x2 – x + a – 3 = (x-0.5)2 + a — 3.25.
Исследуем систему I. Так как она требует
одновременного выполнения условий х >= а и х < 0, то при а >= 0 у неё нет решений. Предположим, что а
< 0. Семейство парабол, определяемых функцией f(x;a), в системе координат Оху имеет вершину на прямой х = -0.5 и для того чтобы первое неравенство системы выполнялось, ордината вершины параболы должна быть отрицательной, откуда -а - 3.25 < 0, т.е. а > -3.25 (см. рис.1а). При этом условии неравенство
(1) будет иметь отрицательные решения, однако, мы
должны ещё добиться выполнения требования х >=
а. Очевидно, что если а (-3.25;-0.5] , то в решениях (1)
содержатся х >= а. При а (-0.5;0) для наличия решений у системы I мы
должны потребовать выполнения необходимого и
достаточного в этом случае условия f(a;a) < 0 . f(а;а) = а2 — 3.
Для всех а (-0.5;0)
f(а;а) < 0 и, следовательно, реализуется ситуация, изображенная на рис.1б. Таким образом, система I будет иметь решения при а (-3.25;0).

Исследуем систему II. При а >= 0 она сводится к
системеимеющей
решения при g(0;а) < 0 (см. рис.2а).Так как g(0;а) = а-3, нас устраивают а [ 0;3). При а < 0 мы получаем систему условий Устраивающий нас случай соответствует рис.2б. Необходимым и достаточным условием для наличия решений этой системы является выполнение неравенства g(a;a) < 0;

g(a;a) = a2 — 3, следовательно, Объединяя значения а,
полученные при исследовании системы I и системы
II, приходим к выводу, что условию исходной задачи
удовлетворяют все а (-3.25;3).


2 способ. Использование координатной
плоскости Оха.

Разрешим совокупность систем I и II,
представленных ранее, относительно параметра а.

I II

Изобразим в координатной плоскости Оха
множества точек, соответствующие решениям
систем I и II, предварительно преобразовав первые
неравенства систем к удобному для этой цели виду:
a > (x+0.5)2 — 3.25 и

a < -(x-0.5)2 + 3.25.

Множеству точек, соответствующему решению
системы I, принадлежат точки координатной
плоскости Оха, лежащие выше параболы, задаваемой
уравнением а = (х+0.5)2 — 3.25, не выше прямой а = х
и имеющие отрицательные абсциссы. Множеству
точек, соответствующему решению системы II,
принадлежат все точки координатной плоскости,
лежащие ниже параболы а = -(х-0.5)2 + 3.25, выше
прямой а = х и имеющие отрицательные абсциссы.
Объединение множеств точек, соответствующих
решениям систем I и II , изображено на рис.3.
Ординаты точек указанного множества образуют
интервал (-3.25;3). Все значения а, принадлежащие
данному интервалу, представляют множество
решений исходной задачи. Ответ: -3.25 < a < 3.


3 способ. Привлечение решений
иррациональных неравенств.

Значения а, при которых исходное неравенство
имеет отрицательные решения, можно получить,
исследуя совокупность систем I и II.

I: II:

Решим квадратное относительно х неравенство (1).
D = 4а + 13. При D <= 0 неравенство (1) решений не имеет. При D > 0, т.е. при а > -3.25 решениями неравенства
будут все значения х из интервала (х12),
где

Поскольку х1<0, среди решений неравенства будут отрицательные. Определим, при каких а среди отрицательных решений неравенства будут содержаться решения, удовлетворяющие условию х >= а. Очевидно, что при
а >= 0, отрицательные значения х неравенству х >=
а не удовлетворяют.

При а < 0 нас устраивает взаимное расположение интервала (х12) и точки а на числовой
оси, изображенное на рис. 4а,б,в, не устраивает — на
рис. 4г.

Допустимые отрицательные значения а находим из
совокупности условий:

Решаем совокупность неравенств:

Еще раз следует отметить необходимость
соответствия условию D > 0, т.е. выполнение
строгого неравенства а > -3.25, что позволяет
правильно обозначить промежуток устраивающих
систему

I значений параметра а: а (-3.25;0). Рассмотрим неравенство (2)
системы II. D = 13-4а, при D <= 0 это неравенство решений не имеет. При D > 0, т.е. при а < 13/4, решением неравенства будет промежуток (х34),
где Этот промежуток
содержит отрицательные значения, если х3 < 0, т.е. при а < 3. При этом можно подчеркнуть, что Отрицательные значения х, удовлетворяющие неравенству х < а, существуют, если при выполнении условия а < 3 справедливо неравенство х3 < а.

Учитывая одновременно условия а < 13/4( D > 0 ), a
<3 (x3 < 0 ), получаем, что система II имеет решения при Объединяя множества значений параметра а, полученные при решении систем I и II, имеем: условию задачи удовлетворяют все а (-3.25;3).


4 способ. Привлечение элементов
графического метода.

Пусть f(x)=3 — x2,
g(x) = | x-a| . Построим графики функций y = f(x) и y = g(x),
исследуя их взаимное расположение в зависимости
от значений параметра а (см. рис. 5).

II. Определим а1 из условия: график функции
y = g(x) проходит через точку с координатами (0;3);g(x) = a1-x
при x < a1. 3 = a1 — 0, a1 = 3.

III. Прямая, касательная к квадратичной параболе,
имеет с ней одну общую точку. а2 определим
из условия, что квадратное уравнение 3 — х2 =
х — а2 имеет единственное решение. D = 4a+13, D = 0
при а2 = -3.25. Итак, исходное неравенство
имеет хотя бы одно отрицательное решение при -3.25
< a <3.

Решение задач с параметрами помогает ученикам
приобретать еще в рамках среднего учебного
заведения навыки исследовательской работы.
Одной из ее особенностей является сочетание двух
как дополняющих, так и в ряде случаев исключающих
друг друга факторов: поиска общего метода
решения задач определенного класса и
использование в конкретной задаче наиболее
простого, красивого и, возможно, искусственного
приема решения.


5 способ. Использование схемы
равносильного перехода при решении неравенств,
содержащих модуль, с последующим сравнением
нулей квадратичной функции.

Во многих случаях удобно воспользоваться
равносильным преобразованием неравенства Сначала
рассмотрим громоздкое аналитическое решение,
использующее данный прием.

Условие исходной задачи можно
переформулировать теперь следующим образом: при
каких значениях параметра а система неравенств
(I) имеет хотя бы одно отрицательное решение.
Область определения выражений в (I): -3.25 <= а <= 3.25.

Пусть В этих
обозначениях система (I) принимает вид: Поиск
отрицательных решений х требует совместного
выполнения неравенств: x > x1, x < x2, x
> x3, x < 0, поскольку x4 > 0 для всех
значений а, при которых определен

Найдем, при каких а х2 < 0.

Из двух
условий: x < x2 и x < 0 при a<-3 более строгим является требование x < x2. Для наличия
решений у системы необходимо выполнение условия
х3 < х2, поскольку на области
определения рассматриваемых выражений при а -3.25 х1 < х2.
Определим, какие из значений а (-3.25;-3) удовлетворяют неравенству

х3 < х2. Данное неравенство легко решается
методом возведения в квадрат Следовательно, при а (-3.25;-3) система неравенств (I)
имеет отрицательные решения. Если х2 >= 0,
то для существования отрицательных решений у
системы I должна быть совместна система
неравенств х1
< 0 для всех a [-3.25;3.25]. Отрицательные решения получившейся системы неравенств будут при х3 < 0, т.е. при -3.25 <= a <3. Поскольку х2 >= 0 при а
>= -3, мы приходим к выводу, что при а [-3;3) система неравенств (I)
также имеет отрицательные решения. Окончательно
получаем ответ, совпадающий с уже полученным
ранее четырьмя предыдущими способами, объединяя
найденные промежутки (-3.25;-3) и [-3;3).


6 способ. Схема равносильного перехода
с избавлением от модуля и свойства графиков
квадратичной функции.

И, наконец, приходим к рассмотрению самого
короткого и красивого
способа решения
исходной задачи.

Для выполнения условий задания у неравенств
системы должно быть хотя бы одно совпадающее
отрицательное решение. Ответ на вопрос задачи
получаем, сравнивая взаимное расположение
парабол, задаваемых функциями y = x2 + x и y = x2
– x, с соответствующими горизонтальными прямыми y
= a + 3 и y = — a + 3. Так как абсцисса вершины первой
параболы отрицательна (x0 = -0.5, ветви
параболы направлены вверх), то отрицательные
решения у первого неравенства будут при a + 3 > y0
= — 0.25, то есть при

a > -3.25. Нули другой квадратичной функции x1
= 0, x2 = 1, ветви соответствующей параболы
направлены вверх. Отрицательные решения у
второго неравенства получаются при –a + 3 > 0, то
есть a < 3.

Графики двух функций y = x2 + x и y = x2 – x
пересекаются в начале координат. Первое
неравенство системы начинает иметь помимо
отрицательных положительные решения при a > -3,
при этом у второго неравенства уже есть
отрицательные решения. При a = -3.25 x = — 0.5 — решение
второго неравенства. Следовательно, при -3.25 < a <3 система неравенств имеет отрицательные решения.