Тема урока: Логарифмы и сложный процентный рост

  • Шредер Инесса Владимировна, учитель математики и информатики

Тема урока: «Логарифмы и сложный
процентный рост»

Тип урока: урок применения основного
математического аппарата при решении задач
практического содержания.

Цели урока:

  • Обобщить основные математические понятия:
    процент, логарифмы и их свойства, основное
    логарифмическое тождество, формула перехода от
    одного основания к другому.
  • Продолжить формировать умение применять
    основной математический аппарат при постановке
    и решении задач, возникающих в повседневной
    практике и непосредственно связанных с
    процентами.
  • Развивать умение читать диаграммы и графики,
    грамотно и экономно проводить элементарные
    процентные вычисления.

Оборудование урока: доска, графики
показательной и линейной функций, диаграммы
процентного роста, карточки-задания, таблицы с
формулами, калькуляторы.

Ход урока:

1) Организация учащихся на работу, постановка
цели и задачи.

Учитель: На практике человек всегда
интересуется такими вопросами, как, например,
насколько быстро растёт та или иная величина, в
особенности, если эта величина имеет
«экономический» характер – скажем платёж, если
его не внести вовремя; сумма денег на его счёте в
банке. Если имеется необходимость производить
аналогичные одинаковые вычисления для различных
исходных сумм и процентных ставок, можно
составить формулу или найти её в справочнике и
проводить расчёты с помощью вычислений на
калькуляторе.

2) Повторение ранее изученного материала,
решение устных задач

Вопрос 1. Как найти процент от числа?

Вопрос 2. Как найти число по его проценту?

Вопрос 3. Что называется логарифмом числа?

Вопрос 4. Какова формула перехода логарифма
от одного основания к другому?

Устные упражнения (на доске)

  1. Найти % от 5000 рублей: 1%, 10%, 50% (50, 500, 2500)
  2. Сколько % составляет число10 от: 100, 50, 20, 10 (10%, 20%, 50%,
    100%)
  3. Какое из уравнений имеет положительный корень 2х=70;
    7х=0,5; 0,1х=1?
  4. Вычислить, пользуясь определением и свойствами
    логарифма, формулу перехода к новому основанию:
    log216; log381; log0,31; log162; log927;
    log48+log42; log1015-log100,15; 2log331/2.

Во время работы с классом 2 учащихся выполняют
решение задач на проценты по формулам у доски и
после разъясняют решение и показывают связь с
математикой.

Простейшие задачи на проценты:

Задача 1. Банк обещает своим клиентам годовой
рост вклада 10%. Какую сумму может получить через
год человек, вложивший в этот банк 32 тыс.руб.?
(35200р)

Задача 2. Минимальная заработная плата 1000
рублей была повышена на 25%. Каков новый размер
минимальной заработной платы?

, где p – количество процентов, S –
первоначальная величина.

Простой процентный рост:

Задача 3. Сколько надо заплатить, если
квартплата 500 рублей просрочена, пеня равна 1% за
каждый день просрочки, а оплата производится с
задержкой на 30 дней? (650 рублей)

Задача 4. Какая сумма будет на счёте
вкладчика из первой задачи через 5 лет, если
процент начисляется только на вложенную сумму? (48
тыс. рублей)

Вопрос 5. Платежи бывают разные, от чего
зависит их размер?

Ответ: Размер платежей зависит ещё и от времени,
поэтому появилась необходимость составить общую
формулу платежей: , где n – число дней.

Вопрос 6. Какую функциональную зависимость
задаёт простой процентный рост?

Ответ: Линейную, вида y = kx + b.

3) Проверка усвоенных знаний при решении задач
на проценты (тест)

1. Соедините стрелками утверждения,
означающие одно и то же:


Расходы увеличились на 100% Расходы уменьшились наполовину
Расходы увеличились на 50% Расходы уменьшились вдвое
Расходы уменьшились на 50% Расходы уменьшились примерно в полтора
раза
Расходы уменьшились на 30% Расходы уменьшились примерно на треть
Расходы увеличились наполовину
Расходы увеличились вдвое
Расходы увеличились в полтора раза
Расходы удвоились

2. Начальная сумма составляет 2000 рублей.
Ежемесячно она увеличивается на 5%. Какая из
перечисленных формул соответствует данному
условию?

.

3. Соответствуют ли формулы уравнениям
прямой:

По графику сравнить скорости увеличения
вкладов и определить, на каком из счетов через 50
лет сумма будет больше?

4) Объяснение нового материала ( постановка
проблемы перед учащимися, в виде задачи на
нахождение сложных процентов, и её решение)

III. Сложный процентный рост:

В сбербанке России для некоторых видов вкладов
(называемые срочными) принята следующая схема
начисления денег на сумму, внесённую в банк.
Каждый год она возрастает на некоторое число
процентов, если в конце года вкладчик не снял
«проценты», то они капитализируются и в конце
года проценты начисляются банком уже на новую,
увеличенную сумму, то есть начисляются «проценты
на проценты».

Задача 1. Подсчитаем, сколько денег получит
вкладчик через 5 лет, если проценты будут
начисляться на предыдущую сумму? (учащиеся
подсчитывают с помощью калькуляторов) 32000·1,1= 35200;
35200·1,1=38720; 38720·1,1=42592; 42592·1,1=46851,2; 46851,2·1,1=51536,32. Но так
высчитывать суммы очень долго и неудобно, значит
можно посчитать следующим образом: 32000·1,15=51536,32.

В математике говорят о сложных процентах и
используют следующую формулу: ,
которая выражает функциональную зависимость
вида y = ax (При наличии времени можно
вывести формулу)

Задача 2. На счёт в банке положили 1 млн. рублей
под 30% годовых. С помощью графика функции y = 1,3x
определить, через какое время сумма на счёте
увеличиться в 2, 5, 8 раз?

Вопрос: Сколько решений имеет задача? И как
найти решение без графика функции?

Ответ: Единственное решение, но оно будет не
точным. С помощью логарифма: ,
значит, используя формулу сложных процентов и
определение логарифма, можем более точно
определить время, за которое происходит
увеличение вклада: .

5) Решение задач в группах (допускается
распределение ролей, если урок проводится в
форме игры)

— По диаграмме определить приблизительно сумму
на счёте через 11 месяцев (5 месяцев), и определить
процент увеличения вклада за месяц.

— Вычислить, через сколько месяцев сумма на
срочном вкладе достигнет 161тыс.руб. (285500 руб.),
если было внесено 100 тыс.руб. и банк предлагает 10%
в месяц?

6) Домашнее задание Построить таблицу, график
и диаграмму роста вклада (с шагом в один год),
считая, что начальная сумма 100 тыс.руб., а
процентная ставка 20% годовых. С помощью
вычислений сравнить, через какое время при
разных процентных ростах будет один и тот же
результат? В каком случае суммарный вклад за 10
лет будет больше?

7) Итог урока:

Объявление оценок за тест и за работу на уроке.

Вопрос: В чём разница простого и сложного
процентного роста?

Ответ: Разница состоит в том, что при простом
росте процент начисляется исходя из начального
значения величины, а при сложном он исчисляется
из предыдущего значения.

Вопрос: Вкладывая деньги в банк и знакомясь с
условиями, какой вопрос вы обязательно должны
задать работнику банка, чтобы вложение было
выгодным?

Ответ: Какие проценты выплачивает банк –
простые или сложные?