Открытый урок: логические задачи в 6-м классе

  • Сафонова Зоя Георгиевна, учитель математики

Цель: развитие логического мышления.

Как принято в современной методике, можно
выделить различные составляющие этой цели:

  • обучающая – обучение решению логических
    задач;
  • развивающая — развитие культуры выражения
    мыслей в устной и письменной речи;
  • воспитательная – воспитание культуры
    общения.

Задачи:

  • изучение приемов построения информационных и
    символьных моделей логических задач;
  • вычисление истинностных значений суждений;
  • преобразование суждений;
  • построение правильных умозаключений из
    суждений, следствий из совокупности суждений;
  • построение посылок для суждений и т. д.

Основная деятельность учащихся на уроке –
решение задач. Деятельность учителя –
постановка задач, организация процесса решения,
обсуждение результатов решения, руководство
процессом записи решения и т. д.

Урок проводится в 6 классе после прохождения
темы “целые числа”, когда у учащихся
сформированы умения выполнять действия с целыми
положительными и отрицательными числами, и
задача № 386 является “мостиком” к логическим
задачам.

Для решения подобраны задачи (№394, №400, в
карточке задачи 1, 3, 4, 6), в которых предполагается
установление логического соответствия между
объектами задачи, исходя из истинности
высказываний в условии задачи.

Задача №401 и задачи в карточке 7 и 8 содержат в
условии высказывания, некоторые из которых
являются ложными, но неизвестно какие. При
решении этих задач целесообразно делать перебор
возможных вариантов ответов и выбор того
варианта, который удовлетворяет условию задачи.

В задачах №397, №398 и задачах 2 и 5 в карточке
также необходимо делать перебор возможных
вариантов и исключать те, которые приводят к
противоречию.

Этот урок может быть проведен и в 5 классе с
корректировкой задачи №386, а также в 6, 7 или 8
классе при работе и по другим учебникам. По плану
этого урока можно провести и занятие
математического кружка.

План урока

  1. Разбор задач, заданных на дом № 386, 394, 401, 400. (20
    минут)
  2. Решение” задач мудрецов” №397, №398*. (10 минут)
  3. Работа по карточкам в парах. (20 минут)
  4. Обсуждение решенных задач. (25 минут)
  5. Подведение итогов (самооценка). (3 минуты)
  6. Заключительное слово учителя. (2 минуты)

Оборудование

На доске: таблицы к задачам №386, №394,
№401, рисунок к задаче №400.

Атрибуты для решения “задач мудрецов”: две
синие пилотки и три красные.

Карточки-задания, листы для работы.

Ход урока

1. Разбор задач, заданных на дом

Слово учителя: сегодня мы продолжим знакомство
с большим классом занимательных, нестандартных
задач, которые называют логическими.

Первая из заданных на дом задач требует умения
выполнять действия с целыми числами, знания
законов арифметических действий и умения делать
логические выводы.

Задача №386. Можно ли расставить в клетках
таблицы, состоящей из трех строк и четырех
столбцов, целые числа так, чтобы сумма чисел:

а) в каждой строке была равна –20, а в каждом
столбце –15;
б) в каждой строке –20, а в каждом столбце –16;
в) в каждой строке была положительной, а в каждом
столбце отрицательной?

Обсуждается задача а). Ученики выходят к доске и
показывают примеры, подтверждающие возможность
такого расположения. Делаем вывод: да, можно.

Задача б) Делаются попытки расположить числа с
требуемым условием, но, либо сам отвечающий видит
свою ошибку, либо учащиеся находят ошибку.

После двух, трех попыток учитель предлагает
попытаться обосновать невозможность такого
расположения чисел. Если ученики затрудняются,
то учитель обращает внимание на то, какими
способами можно подсчитать сумму всех чисел в
таблице. После такой подсказки ученики делают
верный вывод о том, что сумма всех чисел по
строкам должна быть 3*(-20)=-60, а по столбцам 4*(-16)=-64, а
это невозможно, в силу переместительного и
сочетательного законов сложения.

После подробного обсуждения задачи б) задача в)
не представляет трудности, и ученики грамотно
делают правильный вывод.

Задача № 394. Коля, Боря, Вова и Юра заняли
первые четыре места в соревновании. На вопрос,
какие места они заняли, трое из них ответили:

  1. Коля ни первое, ни последнее,
  2. Боря второе;
  3. Вова не был последним.

Какое место занял каждый мальчик?

После выслушивания ответов учеников, решивших
задачу, учитель предлагает сделать запись
решения в виде таблицы, в которой
устанавливается соответствие занятого места и
героя задачи. Запись в таблице – (1) означает, что
Коля не занял первое место, и это следует из 1)
условия задачи.


I II III IV
Коля – (1) – (2) + – (1)
Боря – (2) + (2) – (2) – (2)
Вова + – (2) – (1) – (3)
Юра – (3) – (2) – (1) +

Из условия, что “Боря занял второе место”
следует, что он не занял ни первое, ни третье, ни
четвертое место, а так же следует, что второе
место не занял ни Коля, ни Вова, ни Юра.

Из первого условия, что “Коля занял ни первое,
ни последнее место” следует, что Коля занял
третье место, и тогда ни Вова, ни Юра не могут быть
на третьем месте. Из третьего условия, что “Вова
не был последним” следует, что Вова был на первом
месте, а Юра был последним.

При обсуждении приоритет отдается ученикам.

Задача № 401. Три друга Коля, Олег и Петя играли
во дворе, и один из них случайно разбил мячом
оконное стекло. Коля сказал: “Это не я разбил
стекло”. Олег сказал: “Это Петя разбил стекло”.
Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений
верное, а другое – нет. Кто из мальчиков разбил
стекло?

После выслушивания ответов учеников, решивших
задачу, учитель предлагает сделать анализ
решения в виде таблицы, которая будет содержать
все возможные варианты виновности одного из
участников игры, и которая позволит оценить
истинность высказываний героев задачи.

Назовем высказывание: Коля сказал: “Это не я ”-
А, а высказывание: Олег сказал: “Это Петя ”- Б.
Возможную виновность обозначим знаком +.


Коля Олег Петя А Б
+ ложь ложь
+ истина ложь
+ истина истина

Если окно разбил Коля, значит оба высказывания
А и Б ложны.

Если окно разбил Олег, значит А – истинно, Б –
ложно.

Если виноват Петя, значит и А и Б – истинны.

По условию задачи одно высказывание истинно, а
другое ложно, значит, окно разбил Олег.

Задача № 400. В одной коробке лежат два белых
шара, в другой – два черных, в третьей – один
белый и один черный. На каждой коробке имеется
табличка, но она неправильно указывает
содержимое коробки. Из какой коробки, не глядя,
надо вынуть шар, чтобы можно было определить
содержимое каждой коробки?

Выслушиваются рассуждения учеников верно
решивших задачу: надо взять из коробки “черный,
белый” один шар. Он может быть либо белый, либо
черный. Если он белый, значит в коробке “черный,
белый” лежат оба белых шара, тогда в коробке
“белый, белый” лежат оба черных, а в коробке
“черный, черный” – один черный и один белый.

Если он черный – рассуждения аналогичны.

Обсуждаются варианты вытаскивания шара из
коробки “черный, черный” или “белый, белый”.
Делается вывод о неполноте решения в этих
случаях.

Учитель предлагает сделать запись решения в
виде схемы самостоятельно.

2. Задачи мудрецов

Задача № 397. В коробке лежат три пилотки –
одна синяя и две красные. Учитель вызывает к
доске двух учеников, которые становятся лицом к
классу и закрывают глаза. Учитель надевает
каждому из них на голову пилотку, а оставшиеся
прячет в коробку. Ученики открывают глаза, и
каждый видит пилотку своего товарища, но не видит
своей. Может ли кто-нибудь из них определить цвет
своей пилотки?

Рассмотрите два случая:

а) надеты одна синяя и одна красная пилотка;
б) надеты две красные пилотки.

К доске выходят двое желающих разыграть
решение задачи в лицах. Учитель надевает им
пилотки. Обсуждается решение задачи.

а) Случай тривиальный. Цвет своей пилотки
определяет тот, на котором красная пилотка.
б) Обе пилотки красные.

Рассуждения одного из “мудрецов”: я вижу перед
собой красную пилотку. Если бы на мне была синяя
пилотка, то сидящий передо мной сразу бы
догадался, что на нем красная пилотка и сказал бы
об этом. Но он молчит, значит на мне не синяя, а
красная пилотка.

Задача № 398*. Решите предыдущую задачу для
пяти пилоток – двух синих и трех красных и трех
учащихся. Какие случаи надо рассмотреть?

Учащиеся обсуждают возможные случаи:

а) синяя, синяя, красная;
б) синяя, красная, красная;
в) красная, красная, красная.

Решение задачи разыгрывается в лицах.

а) Случай тривиальный. Цвет своей пилотки
определяет тот, на котором красная пилотка.
б) Рассуждения одного из “мудрецов”, на котором
красная пилотка: я вижу перед собой одну синюю и
одну красную пилотку. Если бы на мне была синяя
пилотка, то сидящий в красной пилотке догадался
бы, что на нем красная пилотка, и сказал бы об
этом. Но он молчит, значит на мне красная пилотка.
в) Рассуждения одного из “мудрецов”: если бы на
мне была синяя пилотка, то один из сидящих
напротив рассуждал бы аналогично случаю б) и
догадался бы, что на нем красная пилотка, но он
молчит, значит на мне не синяя, а красная пилотка.

3. Решение задач в парах

Раздаются карточки с задачами. Каждая задача
оценена в баллах.

Задача 1. Как перевести в лодке с одного
берега реки на другой волка, козу и капусту, если
известно, что волка нельзя оставить без привязи с
козой, а коза “неравнодушна” к капусте? В лодке
только два места, поэтому можно брать с собой
одновременно или одно животное, или капусту. (2
балла)

Задача 2. Коренными жителями острова являются
рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а
лжецы всегда лгут. Человек А говорит: “Я – лжец”.
Является ли он уроженцем острова рыцарей и
лжецов? (2 балла)

Задача 3. Из четырех учеников Антона, Бори,
Васи и Гали – один отличник. Кто отличник, если:

  1. в тройке Антон, Боря, Вася есть отличник;
  2. в тройке Антон, Вася, Галя есть отличник;
  3. Антон – не отличник. (2 балла)

Задача 4. Александр, Борис, Виктор и Григорий
– друзья. Один из них – врач, другой – журналист,
третий – спортсмен, а четвертый – строитель.
Журналист написал статьи об Александре и
Григории. Спортсмен и журналист вместе с Борисом
ходили в поход. Александр и Борис были на приеме у
врача. У кого какая профессия? (4 балла)

Задача 5. На острове два города, в одном живут
рыцари, говорящие только правду, а в другом –
лжецы. Встретились три человека А, В и С.

А говорит: “В – лжец”.

В говорит: “А и С из одного города”.

Кто такой С? (4 балла)

Задача 6. Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке
мешок, в котором были перемешаны мак и просо, и
велела перебрать их. Когда Золушка уезжала на
бал, она оставила три мешка: в одном – просо, в
другом – мак, а в третьем – еще не разобранная
смесь. Чтобы не перепутать мешки, Золушка к
каждому из них приклеила таблички: “Мак”,
“Просо”, “Смесь”. Мачеха вернулась с бала
первой и нарочно поменяла местами таблички так,
чтобы на каждом мешке оказалась неправильная
запись. Ученик Феи успел предупредить Золушку,
что теперь ни одна надпись на мешках не
соответствует действительности. Тогда Золушка
достала только одно-единственное зернышко из
одного мешка и, посмотрев на него, сразу
догадалась, где что лежит. Как она это сделала? (4
балла)

Задача 7. Четверо ребят – Алексей, Борис,
Владимир и Григорий участвовали в лыжных гонках.
На следующий день, на вопрос, кто какое место
занял, они ответили так:

Алексей: Я не был ни первым и не
последним;

Борис: Я не был последним;

Владимир: Я был первым;

Григорий: Я был последним.

Известно, что три из этих ответов были
правдивыми, а один – ложью. Кто сказал правду? Кто
был первым? (6 баллов)

Задача 8. Разбирается дело Джонса, Смита и
Брауна. Один из них совершил преступление. В ходе
следствия каждый из них сделал по два заявления.

Джонс: “Браун не делал этого. Это
сделал Смит”.

Смит: “Я не делал этого. Это сделал
Браун”.

Браун: “Я не делал этого. Джонс не
делал этого”.

Потом оказалось, что один из них дважды сказал
правду, другой – дважды солгал, третий – раз
сказал правду, раз солгал. Кто совершил
преступление? (6 баллов)

4. Обсуждение решённых задач

По истечении 20 минут приступаем к обсуждению
задач. Ученики, решившие задачу, выходят к доске
(можно в паре) и объясняют свое решение. Остальные
дополняют по необходимости и оценивают свое
решение в баллах. Учитель, выслушивая решения,
корректирует логичность и полноту записи
решения.

Задачи 1, 2 и 3 легко решаются учениками
рассуждениями. Решение задачи 4 оформляется в
виде логической таблицы. В задаче 5 ученики часто
ограничиваются только рассмотрением случая: А –
рыцарь. Необходимо указать на неполноту решения
и дополнить решение случаем: А – лжец.

В задаче 6 ученики не сразу могут понять
постановку задачи из-за многословного
сказочного сюжета, но, поняв аналогию с домашней
задачей № 200, справляются с решением.

Решение задачи 7 можно оформить таблицей, в
которой предполагается первенство каждого из
героев задачи, и на основе этого определяется
истинность или ложность их высказываний.


I место занял Истинность или ложность
высказываний
Алексея Бориса Владимира Григория
Алексей ложь истина ложь истина
Борис истина истина ложь истина
Владимир истина истина истина истина
Григорий истина ложь ложь ложь

Если предположить, что Алексей занял первое
место, то он солгал и солгал Владимир, а это
противоречит условию, что солгал только один
участник, значит, Алексей сказал правду.

Если первым оказался Борис, то солгал только
Владимир – это полностью удовлетворяет условию
задачи.

Если Владимир сказал правду, то и все остальные
сказали правду – этого не может быть.

Если Григорий занял первое место, то солгали
Григорий и Владимир.

Ответ: Правду сказали все, кроме Владимира.
Первым был Борис.

После обсуждения задачи 8 учитель предлагает
оформить решение в виде таблицы, где
последовательно предполагается виновность
каждого из героев и, на основе этого оценивается
истинность или ложность их высказываний.


Предполагаемая
виновность (+)

Истинность или ложность
высказываний
Джонса Смита Брауна Джонса Смита Брауна
I II I II I II
+ истина ложь истина ложь истина ложь
+ истина истина ложь ложь истина истина
+ ложь ложь истина истина ложь истина

Из таблицы следует, что условию задачи
удовлетворяет случай 3, когда Джонс оба раза
солгал, Смит оба раза сказал правду, Браун раз
солгал, раз сказал правду.

Ответ: Преступник Браун.

5. Подведение итогов

Ученики оценивают свои решения в баллах,
подписывают листы и сдают учителю.

6. Заключительное слово учителя

Сегодня мы решали необычные задачи –
логические. В чем их необычность? Когда мы решаем
примеры, мы выполняем различные математические
действия с числами. Когда мы решаем обычные
задачи, мы работаем с понятиями, которые имеют
количественное выражение, например: расстояние
100 км, скорость 15 км/час и так далее, значит, опять
выполняем действия с числами.

С какими понятиями мы работали сегодня, решая
логические задачи?

Мы работали с высказываниями. Высказывание –
это предложение, про которое мы однозначно можем
сказать истинно оно или ложно. Решая задачи, мы
устанавливали истинностное значение
высказывания, преобразовывали высказывания,
формулировали их отрицание, строили следствия из
высказываний, устанавливали логические связи
между высказываниями и делали логические выводы.

Некоторые задачи мы решали с помощью только
рассуждений, а решения других задач мы оформляли
в виде логических таблиц, в которых очень удобно
было устанавливать соответствия между объектами
задачи.

В дальнейшем мы будем рассматривать логические
задачи других типов и знакомится с другими
методами их решения. И, как примеры таких задач,
задание на дом: №390, №393, №395, №399.

В заключение выражаю благодарность Дулатовой
З. А., доценту, кандидату физ.-мат. наук, зав.
кафедрой алгебры и логики Иркутского
государственного педагогического университета
за ценные методические замечания и предложения.