Тема урока: Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля

  • Едренников Евгений Николаевич, учитель математики

Тип урока: урок обобщения и
систематизации учебного материала.

Форма урока: урок-практикум.

Класс: 11.

Предмет: алгебра и начала анализа.

Тема: “Уравнения, содержащие
переменную под знаком модуля”

Цели:

  1. Актуализировать знания: модуль числа и свойства
    модуля; совершенствовать умение при решении
    уравнений, содержащих переменную под знаком
    модуля, применять методы: раскрытие модуля по
    определению; возведение обеих частей уравнения в
    квадрат; метод разбиения на промежутки.
  2. Развивать интеллектуально-логические умения и
    математические способности;
  3. Воспитывать адаптивность к современным
    условиям обучения, воспитывать личность,
    интегрированную в современное общество.

    ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

II. Мотивация деятельности учащихся.

Сообщение целей и задач урока. Принятие
учащимися целей урока.

III. Актуализация опорных знаний.

1. Определение модуля. Модулем (абсолютной
величиной) действительного числа х называется
само это число, если х > 0, и
противоположное ему число –х, если х
< 0
.

Модуль х обозначается |х|. Итак,

2. Основные свойства модуля. (Запишите основные
свойства модуля).

Для любых действительных х и у:

|x| > 0.

|-x| = |x|.

|x2| = x2.

-|x| < x < |x|.

|x·y| = |x|·|y|.

|x/y| = |x|/|y|, y 0.

При решении задач нужно помнить геометрический
смысл модуля: |x-a| — это расстояние между
точками х и а числовой оси. В
частности, |x| — расстояние между точками х
и 0.

IV. Совершенствование практических умений
применять известные методы решения уравнений,
содержащих переменную под знаком модуля.

Устная работа

При решении уравнений, содержащих переменную
под знаком модуля, применяются чаще всего
следующие методы:

1) раскрытие модуля по определению;

2) возведение обеих частей уравнения в квадрат;

3) метод разбиения на промежутки.

Решите уравнения:

|x| = 3; |x – 5| = 1; |x + 2| = 7; |x – 3| = |x + 1|.

Обменяйтесь тетрадями.

Отметьте в диагностических картах верно
выполненные задания знаком +, а неверно
выполненные задания знаком –.

Какой метод применяли при решении данных
уравнений?

Алгоритм решения уравнения

Чтобы решить уравнение, содержащее переменную
под знаком модуля, надо:

  1. Освободиться от знака модуля, используя его
    определение;
  2. Найти критические точки, то есть значения
    переменной, при которых выражения, стоящие под
    знаком модуля, обращаются в нуль;
  3. Разбить область допустимых значений переменной
    на промежутки, на каждом из которых выражения,
    стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;
  4. На каждом из найденных промежутков решить
    уравнение без знака модуля.

Объединение решений указанных
промежутков и составляет все решения данного
уравнения.

Решить уравнения, используя алгоритм решения
уравнения и свойства модуля.

Уравнение вида |f(x)| = g(x).

|x – 7| = x3 – 15x2 + x + 7.

Решение

По определению модуля

Уравнение |x – 7| = x3 – 15x2 + x + 7
равносильно следующей совокупности двух
смешанных систем:

Ответ: 0;

Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|.

|x5-6x2+9x-6| = |x5-2x3+6x2-13x+6|.

Решение

|x5-6x2+9x-6| > 0 и |x5-2x3+6x2-13x+6|
> 0.

Так как обе части уравнения неотрицательны, то
данное уравнение равносильно совокупности двух
уравнений:

Решив каждое из уравнений, получим:

х = 0; х = ± .

х = 1; х = 2; х = 3.

Ответ: 0; ± ; 1; 2; 3.

Найти сумму корней уравнения

|2x + 1| + |5 — 3x| + 1 — 4x = 0.

Решение

1. По определению модуля

2. Hайдём критические точки:

2х + 1 = 0; 5 — 3х = 0.

х = -?;

х = 5/3.

3. Hули функции разбивают числовую ось на
промежутки.

4. Решим уравнение на каждом из промежутков:

Уравнение, записанное без знака модуля на
промежутках х , равносильно совокупности смешанных
систем:

Ответ: ; 3.

Программированный
контроль

Решение уравнений.

Ученик может выбрать любой из трёх уровней
примеров. Первый уровень оценивается оценкой
“3”, второй “4”, третий “5”. Решение в тетрадях с
последующим объяснением своего решения в
группах. Наиболее сложные задания решаются у
доски. Решения проверяются и записываются в
тетрадях. Оставшиеся задания выполняются дома.

V. Самостоятельная работа.

Самостоятельная письменная работа по
вариантам
на отдельных листах с последующей сдачей учителю
вместе с диагностическими листами


Вариант 1

Вариант 2

А

|x2-3x|=2x-4 ( МГУ 2000)

x2+|x-1|-5=0. (МФТИ 1999)

Б

|x2+2x-3|=|x+1|+2 (МФТИ)

|2x+8|-|x-5|=12 (МГУ 2000)

В

4|x+1|-1=3|2x+5|-2|x+5| (МГУ 1997)

|6x3-2x2+4x-33|=10x-35 (МФТИ)

VI. Итог урока.

Определение модуля.

Методы решения уравнений, содержащих
переменную под знаком модуля.

Алгоритм решения уравнений, содержащих
переменную под знаком модуля.

VII. Домашнее задание.

Решить три уравнения различного
уровня.

Индивидуальные задания.

1. х2 = | 2 — х| ;

2. | | 3х + 2| — 5х| = 14;

3. | 2 — | 3х — 1| | = х2 + 1;

4. | 3х – 1| + | 2х — 4| = | х2 — 1| + 4;

5. | х + 2| — | 3х — 4| + | 2х + 7| — = | х + 5|.

Приложение